El problema del reparto de la apuesta مُشكلة توزيع الرهان The problem of the distribution of the wager

Imagine por un momento que se encuentra jugando una partida de dados. Usted y su contrincante juegan a escoger una cara de un único dado, y apuestan 32 euros cada uno a que la suya será la primera en salir tres veces. En un momento determinado, la partida debe interrumpirse. Si en ese instante el número que escogió usted ha salido dos veces, mientras que el de su oponente sólo una, ¿cómo debería repartirse la apuesta?

Quizá lo primero que se le ocurriría es que, como van dos a uno, los 64 euros deberían repartirse siguiendo esta proporción. Por tanto usted se llevaría dos terceras partes, 44 euros con 66 céntimos, mientras que su oponente se quedaría con los 21 euros con 33 céntimos restantes. Teniendo en cuenta que estaba a punto de ganar la partida, ¿le parece satisfactorio el reparto?

¿Y si fuera usted el que va perdiendo? Teniendo ahora en cuenta que aún podría remontar el tanteo y acabar ganando la partida ¿se conformaría con una tercera parte del dinero?

Si tiene conocimientos elementales en cálculo de probabilidades podría pensar que se trata de un problema sencillo, pero no lo es en absoluto. Que hoy en día manejemos herramientas que permiten a alumnos de secundaria resolverlo sin dificultad no significa que el problema sea fácil, simplemente que ya sabemos cómo hacerlo. Tanto es así que este fue un problema abierto durante al menos 160 años, y sus intentos de resolución desembocaron en la primera formulación de la teoría del cálculo de probabilidades. ¿Quieren averiguar cómo? Pues vamos.

Las primeras soluciones aritméticas

La primera propuesta de resolución del problema de la que se tiene constancia corresponde a Fra Luca Pacioli. En el año 1494 propone una solución utilizando una versión del problema similar a esta:

Un grupo juega a la pelota de tal modo que se necesitan un total de seis tantos para ganar el juego. La apuesta es de 22 ducados. Por algún incidente no pueden terminar el juego y un bando se queda con cinco tantos y el otro con tres. Se quiere saber qué participación del dinero del premio le corresponde a cada bando.

Pacioli pensó que, para repartir la apuesta justamente, lo que se debía tener en cuenta es qué parte del juego se había jugado ya y qué proporción de esa parte había conseguido cada equipo. Como el número máximo de tantos que se pueden conseguir son 11 (seis del que gana y cinco del que pierde), y se han conseguido ocho, considera que los 22 ducados se apuestan por estas 8/11 partes del juego en lugar de por el juego completo. Como el equipo con ventaja lleva “ganadas” 5/11 de estas 8/11 partes, la proporción del premio que merece llevarse cada uno es

Por tanto el equipo con ventaja se queda con 5/8 partes de 22 ducados, que son 13 ducados y tres cuartos, y el otro con 3/8 partes, ocho y cuarto. En realidad esta forma de resolver el problema es la misma que propusimos al principio pues la relación entre lo que se llevan ambos equipos responde al tanteo en el momento de suspender la partida, cinco a tres.

Posteriormente Nicolo Tartaglia se da cuenta de un fallo en la solución de Pacioli: si en el momento de parar el juego el segundo equipo no hubiera anotado ningún tanto, el primero se quedaría con toda la apuesta. En 1556 propone otra solución que supera esta dificultad.

Lo que hace es devolver al equipo que va ganando su apuesta más una parte proporcional de la del que va perdiendo. Así, la proporción adecuada sería, según Tartaglia, la diferencia de tantos entre uno y otro dividida entre los tantos a conseguir, que en este caso sería de 2/6, o mejor, de 1/3. Por tanto, al equipo que va ganando le corresponderían

luego se quedaría con 14 ducados y dos tercios, mientras que el que pierde se llevaría el resto, siete ducados y un tercio.

Ninguna de las soluciones convence porque ambas tienen la misma carencia: no cuentan con lo que pudiera ocurrir en las partidas que quedan por jugar.  Pero esto no era algo tan sencillo de hacer para los contemporáneos de Pacioli y Tartaglia, pues implicaba el uso de conceptos que escapaban, de lejos, del alcance de las matemáticas de la época.

Blaise Pascal, Pierre de Fermat y El Caballero de Mèrè

Casi cien años después del intento de solución de Tartaglia, el problema llega a oídos de unos tales Blaise Pascal y Pierre de Fermat, y lo hace de la mano de un personaje de la época conocido como El Caballero de Méré (que aunque haya pasado a la historia como un jugador empedernido, en realidad era pensador y escritor, además de aficionado a las matemáticas) El enunciado que se propone es análogo al que vimos al principio, salvando, como es natural, que los jugadores se juegan doblones de oro en lugar de euros.

En una carta enviada a Fermat el Miércoles 29 de Julio de 1654, Pascal propone la siguiente solución:

Para conocer el valor del reparto, cuando participan dos jugadores en tres tiradas y pone cada uno 32 monedas en la apuesta:

Supongamos que el primero de ambos tiene 2 puntos y el otro 1 punto. Si, ahora, vuelven a lanzar el dado las posibilidades son tales que si el primero gana, ganará el total de monedas en la apuesta, es decir 64. Pero si es el otro el que gana, estarán 2 a 2 y en consecuencia, si desean acabar o se interrumpe el juego, sigue que cada uno tomará su apuesta, es decir 32 monedas.

Por lo tanto Señor, se ha de considerar que, si el primero gana, 64 monedas le pertenecerán y si pierde, entonces sólo le pertenecerán 32 monedas. Si no desearan jugar este punto, y desearan separarse, el primero podría argumentar “Tengo seguras 32 monedas, pues incluso si pierdo las recibiré. Las 32 restantes, quizás las gane o quizás no, el riesgo es el mismo. Por lo tanto, dividamos esas 32 restantes por la mitad, y dadme además las 32 que tengo seguras”. El primero tendrá 48 monedas y el segundo tendrá 16.

Lo que Pascal dice es que hay que tener en cuenta lo que puede ocurrir en las jugadas siguientes y calcular la parte de la apuesta que arriesga cada jugador en cada una de ellas. En la primera, el que gana se asegura 32 doblones, y en la segunda, el riesgo se reparte por igual, por lo que se han de dividir los doblones restantes en 16 y 16.

Este sencillo párrafo de Pascal es clave, pues no sólo da con la solución correcta, sino que utiliza, aunque probablemente sin reparar demasiado en ello, conceptos tan comunes hoy en día como el de espacio muestral, suceso aleatorio e incluso el de probabilidad condicionada(1). Habla además explícitamente de probabilidad, aunque la llama riesgo. En el intercambio de correspondencia posterior, de un tremendo interés histórico, Fermat propone recontar cada uno de los casos posibles y Pascal desarrolla para ello el cálculo de números combinatorios… casi nada.

Sin embargo no avanzan mucho más allá en lo que sería la formulación precisa de una teoría de la probabilidad, y esto no nos permite apreciar con claridad porqué este es el reparto más justo. Y es que en esta solución se esconde una idea más, un concepto que será fundamental no sólo para comprender completamente este problema, sino para el mismo desarrollo de toda una nueva teoría matemática.

Christiaan Huygens y el nacimiento del cálculo de probabilidades

No habría que esperar mucho para que otra mente privilegiada diera con esta idea. En 1655 Christiaan Huygens conoce la solución de Pascal, aunque no el método que ha seguido para encontrarla, y se propone encontrar una explicación fundamentada. Fruto de su trabajo es el tratado De ratiociniis in ludo aleae, publicado en 1657 como parte de una obra más extensa. En él construye la base teórica que da soporte a la solución de Pascal, asigna claramente probabilidades a cada uno de los casos posibles e identifica un concepto al que llama expectatio. Veamos cómo lo hizo(2).

Si suponemos que el juego continua aunque después de la primera tirada tras la interrupción el tanteo quedase tres a uno, tenemos que, pase lo que pase, el jugador que ya ha ganado sigue ganando, y además puede hacerlo con dos marcadores diferentes, 4 a 1 o 3 a 2. Si por el contrario empatan, tanto uno como otro pueden terminar ganando con la misma probabilidad, como ya sabemos. Entonces, si hacemos un recuento de los posibles resultados de realizar dos tiradas más tendremos que, de los cuatro que hay, en tres gana el jugador que llevaba ventaja y en uno el que no.

Ahora sí parece fuera de toda duda que la relación entre lo que se llevan ambos jugadores debe ser de tres a uno, y así lo que debe recibir cada jugador es

A esto lo que Huygens llamó expectatio de cada uno de los jugadores, y hoy en día lo llamamos valor esperado o esperanza matemática de las variables aleatorias “beneficio del jugador que va ganando” y “beneficio del jugador que va perdiendo”. Y esta era la última pieza que faltaba en el rompecabezas.

El trabajo de Huygens es de tal importancia y tuvo tanta influencia en tratados posteriores que el propio Laplace dijo de él que era merecedor de entrar “por la puerta grande como maestro y fundador de la nueva ciencia del azar”.

Y todo por una inocente partida de dados.

http://lacienciaysusdemonios.com/2014/02/24/el-problema-del-reparto-de-la-apuesta

 

 

 

لنتخيّل أننا نتابع لعبة رهان عبر رمي النرد. تلعب أنت وخصمك من خلال إختيار وجه واحد من أوجه النرد، وتتراهنان على دفع 32 يورو لكل مرة ينجح إختياره وخلال ثلاث مرات متتالية. وبلحظة محددة، وَجَبَ إيقاف اللعب، ففيما لو أن الرقم الذي إخترته أنت قد ظهر مرتين، بينما الرقم الذي إختاره خصمك قد ظهر مرّة واحدة فقط، فكيف يجب توزيع الرهان؟.

للوهلة الأولى، وعلى إعتبار أن النتيجة اثنين مقابل واحد، فالمبلغ الذي سيوزع هو 64 يورو، بالتالي، أنت ستحصل على ثلثي المبلغ أي على 44.66 يورو، بينما يحصل خصمك على الثلث الباقي وقيمته 21.33 يورو. ولتأخذ بالحسبان أنك كنت على وشك (نقطة واحدة) ربح كامل المباراة، هل أنت راضٍ عن هذه القسمة أو التوزيع للرهان؟

وما هو موقفك في حال خسارتك؟ خذ بالحسبان أنه يمكنك العودة إلى اللعب وربح اللعبة، فهل ستحصل على الجزء الثالث من النقود؟

فيما لو تمتلك معرفة أوليّة في حساب الإحتمالات، فستتمكن من إعتبار هذه المشكلة بسيطة، لكن لا، يتمتع الأمر بكل هذه الدقّة. 

سنحاول بهذا المقال توفير أدوات تسمح لطلاب المرحلة الثانوية بحل هذه المشكلة دون صعوبات ودون أن يعني هذا أنّ المشكلة سهلة أو بسيطة، ببساطة، سنعرف كيف نقوم بهذا الأمر. 

 

لقد كانت تلك المشكلة مفتوحة على النقاش لمدة 160 عام، وأفضت محاولات حلها لتشكيل نظرية حساب الاحتمالات. 

 

هل ترغبون بمعرفة مجريات الأمر؟ 

لننطلق!

أوائل الحلول الحسابيّة

يعود إقتراح الحل الأوّل للسيِّد لوكا باتشولي. العام 1494، إقترح حلاً من خلال إستخدام إصدار مشابه لهذه المشكلة، هو:

  يلعب فريق الكرة ويحتاج 6 نقاط للفوز باللعبة. جرى الرهان على 22 دوقية. ونتيجة لنشوء ظرف طاريء، لم يتمكنوا من إنهاء اللعبة وامتلك فريق 5 نقاط فيما امتلك الآخر 3 نقاط. وبالتالي، وَجَبَتْ معرفة حصّة كل فريق من النقود.

فكّر باتشولي بتوزيع الرهان بصورة عادلة، ولهذا، أخذ بحسبانه الجزء الملعوب من اللعبة، وبناءاً عليه، ما يمكن لكل فريق أخذه بناءاً على ما أحرزه من نقاط. فعدد النقاط الأقصى الممكن إحرازه هو 11 (6 نقاط للفريق الرابح و5 نقاط للفريق الخاسر)، وأحرز كلاهما 8 نقاط، وبالتالي، فالمبلغ قيد الرهان 22 دوقية، سيوزع وفق 8/11 جزء من اللعبة بدلاً من كامل اللعبة. وبإعتبار أن الفريق الرابح قد كسب 5/11 من أصل 8/11 فالنسبة التي سيستحقها كل فريق منهما، هي:

 

بالتالي، سيحصل الفريق الرابح على 5/8 جزء من 22 دوقية أي على 13.75 دوقية؛ وسيحصل الفريق الآخر على 3/8 جزء أي على 8.25 دوقية. 

 

بالواقع، صيغة الحل هذه هي ذاتها التي اقترحناها أعلاه، حيث أنّ ما سيحصل الفريقان عليه، يتوافق مع اللحظة التي تتوقف بها اللعبة: 5 إلى 3.

بوقت لاحق، إنتبه السيِّد نيكولو تارتاغليا لوجود خلل في حلّ لوكا باتشولي: 

 

ففي اللحظة التي تتوقف بها اللعبة، بحيث لم يحصل الفريق الثاني على أية نقطة، فسيربح الفريق الأول كامل الرهان. يقترح السيد نيكولو حلاً آخر يتجاوز هذه الصعوبة.

 

ما قام به هو العودة للفريق الرابح للنسبة الأكبر من الرهان مقارنة بالفريق الخاسر. هكذا، ستساوي النسبة المناسبة فارق النقاط بين الفريق والفريق الآخر مقسوماً على عدد النقاط الكلي الممكن إحرازه، أي بحالتنا 2/6 أو 1/3. 

بالتالي، سيتوافق الفريق الرابح مع المعادلة التالية:

ما يعني أن حصة الرابح هي 14.66 دوقية والباقي للفريق الخاسر أي 7.33 دوقية. لا يفيد الحلان لامتلاكهما ذات الإشكال، حيث لا يقدما أيّ حل لما تبقى من اللعبة دون إكمال. لكن، هذا لم يكن سهلا لمعاصري باتشولي وتارتاغليا، حيث إقتضى إستخدام مفاهيم بعيدة عن رياضياتيي الحقبة.

باسكال، بيير دي فارما وفارس ماري

بمرور 100 عام تقريباً على محاولة تارتاغليا، وصلت المشكلة لمسامع باسكال وبيير دي فيرما، على يد شخصية معروفة بتلك الحقبة تحت اسم فارس ماري (مع أنه مقامر، فقد كان مفكرا وكاتبا ومهتما بأبحاث الرياضيات)، يُشبهُ إقتراح الحل باقتراحي الحل أعلاه، لكن، اللعب على ذهب وليس على نقود.

 

يقترح بيير دي فيرما، في رسالته إلى باسكال يوم الأربعاء 29 تموز 1654، الحل الآتي:

لمعرفة قيمة التوزيع، عندما يلعب لاعبان في ثلاث جولات، ويضع كل واحد منهما 32 قطعة في الرهان:

نفترض بأن الأول بينهما لديه نقطتين والآخر نقطة واحدة. الآن، وفيما لو يعودا لرمي النرد، فستتوافق النتائج مع الأول اذا ربح، حيث سيربح كامل القطع بالرهان أي 64 قطعة. لكن، إن فاز الآخر فالنتيجة نقطتين مقابل نقطتين، وبالتالي، اذا رغبا بإنهاء اللعبة أو إيقافها، فسيحصل كل منهما على قيمة رهانه أي 32 قطعة.

بالتالي، جرى أخذ إمكانية ربح الأوّل وحصوله على 64 قطعة بعين الإعتبار؛ وإذا خسر، فسيحصل على 32 قطعة. لكن، في حال عدم رغبتهما باللعب على هذه النقطة، ويرغبان بالإنصراف، قد يقول للأول: "لديّ 32 قطعة مضمونين وحتى لو خسرت فستبقى لي. أما القطع 32 الباقية فربما أربحها أو لا، نسبة الخطر هي ذاتها. بالتالي، نقوم بقسمة القطع 32 الباقية على اثنين وأضيفها على قطعي الاثنتان والثلاثين الأكيدة". بالتالي سيحصل الأول على 48 قطعة مقابل 16 قطعة للثاني.

ما يقوله باسكال هنا، هو الاخذ بالحسبان لما يمكن حدوثه بالجولات التالية وحساب جزء الرهان لكل لاعب بكل جولة منها. ففي الجولة الأولى، من يربح، يضمن 32 قطعة، وفي الجولة الثانية يتوزّع الخطر (هو كلمة إستخدمها باسكال للتعبير عن الإحتمال) بالتساوي، أي توجّب قسمة القطع الباقية عليهما لكل واحد 16 قطعة.

كلام باسكال محوري، حيث لا يقدم الحل الصحيح فقط، بل يستخدم، دون ايلاء الإهتمام البالغ على الأرجح، مفاهيم شائعة بيومنا هذا كفضاء العينة، الحدث الإحتمالي وحتى الاحتمال الشرطيّ. 

 

يتحدث بإستفاضة عن الإحتمال، حتى لو أسماه خطر. وفي مراسلات لاحقة، ذات أهمية تاريخية كبيرة، يقترح دي فيرما الاحتمالات بكل الحالات الممكنة، ويقوم باسكال بالحسابات الرقمية ..

مع هذا لم يتقدما أبعد بكثير مما سيتشكّل بصياغة دقيقة لنظرية الإحتمالات، وهي لا تسمح لنا بتحقيق تقييم واضح لأسباب هذا التوزيع الأعدل. حيث تغيب فكرة عن ذاك الحلّ، أو مفهوم مركزيّ، ليس لأجل فهم صحيح لتلك المشكلة فقط، بل لتطوير نظرية جديدة في الرياضيات.

كريستيان هوغنس وولادة حساب الإحتمالات

لم يمضِ زمن طويل ليتنكب حل تلك المشكلة عقل مميّز. 

ففي العام 1655، يقرأ كريستيان هوغنس حل باسكال، دون أن يعرف المنهج الذي اتبعه للعثور على هذا الحلّ، ويقترح العثور على تفسير أساسيّ. وكان هذا ثمرة جهوده البحثية في كتابه De ratiociniis in ludo aleae المنشور في العام 1657 كجزء من عمل أكبر. يبني هوغنس، في هذا الكتاب، القاعدة النظرية الداعمة لحلّ باسكال، حيث يعلن بصورة واضحة إحتمالات كل حالة من الحالات الممكنة ويحدّد مفهوم يسميه القيمة المتوقعة .

فيما لو نفترض إستمرار اللعبة، وعلى الرغم من أنه خلال الجولة الأولى، وإثر التوقف، النتيجة هي 3 إلى 1، فلدينا ومهما حدث ويحدث، سيحافظ الرابح على ربحه، إضافة لإمكانية تسجيله لإحتمالين مختلفين: 4 إلى 1 أو 3 إلى 2. وفيما لو يتعادلان، سيحصلان على ذات القيمة الإحتمالية كما نعرف. بالتالي، فيما لو نقم بإحصاء النتائج الممكنة خلال جولتين إضافيتين، فسيكون لدينا خلال الأربع الجولات: حصة الرابح 3 وحصة الآخر 1 كغير رابح أو خاسر.

الآن، وربما يبدو بعيداً عن الشكّ، فنتيجة اللعبة للاعبين هي 3 إلى 1  وما يجب أن يتلقاه كل واحد منهما، هو:

وهذا ما أسماه هوغنس قيمة متوقعة لكل لاعب منهما، وهو ما نسميه، بيومنا هذا، القيمة المتوقعة للإحتمالات المتنوعة "فائدة اللاعب الذي سيربح" و "فائدة اللاعب الذي سيخسر". وكانت هذه آخر كلمة في مربع الكلمات المتقاطعة!

  أعمال هوغنس هامة جداً، وامتلكت تأثيراً في محاولات لاحقة حتى على لابلاس، الذي قال بأنّ هوغنس "شخصيّة مُؤَسِّسَة بعلم الإحتمالات الجديد ومعلم يستحق التنويه".

وكل هذا، لأجل لعبة نرد بريئة!!